第二百一十一章

　　時間來到正月十五号。

　　今天是元宵節，同樣是一年一屆的全國大學生數學競賽開賽的日子。

　　大一的學生們，是定在正月十八開學。

　　因此宿舍内，還是隻有馬正軒一人。

　　競賽上午九點開始，地點就在燕大的一棟教學樓。

　　早晨早早的起來，馬正軒洗漱好，吃完早飯，便來到圖書館進行最後的備戰。

　　這一周的時間，馬正軒一邊聽着競賽輔導課，一邊去顧律的辦公室時不時的請教問題，已經做了最充足的準備。

　　馬正軒不像畢齊，馬正軒講究的是穩妥。

　　既然選擇參加了大學生數學競賽，那自然是可以穩穩的拿到獎項最好。

　　最近這幾天，馬正軒一直很晚才睡，把往年的競賽真題和顧律出的十套模拟題，翻看了一遍又一遍。

　　現在，就是檢驗他備戰成果的時候了。

　　八點半，馬正軒離開圖書館，邁着穩健的步伐走向考場所在的教學樓。

　　九點整，全國大學生數學競賽正式開考。

　　試卷共有二十六道題目，其中包括兩道附加題。

　　滿分共200分。

　　按照往年的情況，需要190分以上的成績才能獲得全國一等獎。

　　畢竟，這可是全國範圍内層次最高的數學競賽。

　　連燕大、清華的學生都會參加這個比賽，足以證明這項賽事獲獎的難度多高。

　　馬正軒的目标，自然是奔着一等獎來的。

　　這屆全國大學生數學競賽，燕大共有三十多位數學系的學生參賽，其中大部分是大二大三的學長。

　　大一的學生，加上馬正軒，僅有三人。

　　馬正軒深感壓力很大。

　　不過，這段時間，在顧律的瘋狂灌輸下，讓馬正軒意識到，自己未必會弱與那些高粘結的學長。

　　馬正軒性格沉穩，但并非意味着不争不搶。

　　“我不能對不起顧老師的期望！
”馬正軒緊握着雙拳，深吸口氣，翻開試卷，目光一一掃過題目。

　　中規中矩！

　　這是馬正軒一瞬間的判斷。
試題的題型和考點，和前幾年差别不大，隻是在具體的題目上略作改變，整的來說隻能算是中規中矩。

　　而且，有幾道題目，和顧律那十套模拟卷中的題目大同小異，馬正軒可以直接輕松類比過來解題。

　　一瞬間，馬正軒信心增強不少。

　　然後拿起筆，開始解題。

　　第一題：【設實方陣H1=（0、1|1、0），Hn+1=(Hn、I|I、Hn），n≥1，其中I是與Hn同單位的同階方陣，則rank(H4)=______】

　　這道題的考點是和對角方陣的有關知識點。

　　唰唰唰！

　　馬正軒在草稿紙上寫着解題步驟：【Hn是m=2^n階對稱方陣，那麼便會存在一個正交方陣P使得……得出答案，rank(H4)=10。
】

　　馬正軒的做題速度稱不上多快，但仍舊隻是五分鐘不到的時間，就搞定第一題。

　　半個小時時間，馬正軒搞定前面十道選擇，隻剩下後面十六道大題。

　　而距離考試結束，還剩下三個小時的時間。

　　這個時間，足夠了。

　　馬正軒提筆開始做十六道大題的第一題。

　　【設α∈(1，2)，(1-x)^α的Ma級數為∑akx^k，nxn實常數矩陣A為幂零矩陣，I為單位矩陣，設矩陣值函數G(x)定義為……，試證對于1≤i，j≤n，積分∫g(ij)(x)dx均存在的充分必要條件是A^3=0.】

　　這是一道證明題。

　　考察的内容很多，有積分、矩陣，還有不等式。

　　但這并不能難住馬正軒。

　　這三方面的知識，都是很基礎的内容，馬正軒沒有不會的道理。

　　這種難度的題目，甚至不需要馬正軒在草稿紙上演算，但為了穩妥起見，馬正軒還是在草稿紙上算了一遍再騰到答題紙上。

　　【A為幂零矩陣故有A^n=0，記f(x)=(1-x)^α，當j＞k時，記……，用Jordan标準型直接表示出G(x)，故此，使得積分∫g(ij)(x)dx均存在的充分必要條件是A^3=0.】

　　當時間還剩下一個半小時的時候，馬正軒隻剩下最後兩道附加題。

　　附加題一：【設X1，X2……Xn，都是獨立同分布的随機變量，其有共同分布函數F(X)和密度函數f(x)，現對随機變量，X1……Xn，按大小順序重新排列，……】

　　附加題二：【證明：若f∈S，則在Δ:|z|≦1内，有|z|/（1+|z|)^2≦|f(z)|≤|z|/(1-(x))^2.】

　　附加題一沒有難度，倒是附加題二，讓馬正軒卡殼了許久。

　　思索了許久，回憶了許久，馬正軒一直回憶到去年這個時候在冬令營培訓備戰IMO時，顧律給他講過的一個小知識點。

　　“這是……Koebe偏差定理！
”馬正軒眼前一亮，回憶起顧律講述過的有關‘Koebe偏差定理’的内容。

　　所謂的Koebe偏差定理，也就是附加題二的題幹，是用來描述單位圓盤上單葉函數的一個有界定理。

　　“當時老師是怎麼證明這個定理的？
”馬正軒閉着眼睛，仔細回憶。

　　“deBranges定理！
”許久之後，馬正軒緩緩吐出這個名詞。

　　他記得，當初就是利用deBranges定理，推導之後，得到的Koebe偏差定理。

　　deBranges定理，是大學複變函數課程中的一個定理，它的主要内容，是講如果有一個函數的幂級數展開為f(z)=z+a2z^2+a3z^3+……anz^n，則|an|≦n且等号成立當且僅當函數z/(1-z)^2或它的旋轉。

　　而當時，在馬正軒的記憶中，顧老師就是利用，利用deBranges定理，推導出當|z|＜1時，f(z)的範圍。
由于f(0)=0，……，得到|f(z)|=|∫f(ζ)dζ|≤|z|/(1-z)^2，最後，得出Koebe偏差定理。

　　當時在冬令營的時候，顧老師明确的講過，這是超綱的内容，IMO會用到的可能性極小，讓衆人聽聽就可以。

　　雖然不會在IMO中用到，當時的馬正軒還是在筆記上記了下來，偶爾會翻看幾下。

　　但沒想到，在IMO上沒有用到，倒是在全國大學生數學競賽的時候，用到了這部分的知識。

　　若非是馬正軒時常溫習筆記上的内容的話，一年時間的過去，這部分内容，馬振軒肯定是記不得了。

　　既然知道了證明的過程，那剩下的就好辦了。

　　十幾分鐘的時間，馬正軒就完成了附加題二的作答。

　　至此，整套試卷馬正軒全部做完，而距離交卷，還有半個多小時。

　　在考試規則中，是允許提前交卷的。

　　但馬正軒沒有這麼做的習慣，在仔細反複檢查了多遍後，一直等到考試結束鈴聲響起，馬正軒才交卷。

　　剩下的事情，便是靜待着成績的出爐了。

　　大學生數學競賽的閱卷速度很快，短則十天，多則半個月，就會公布排名和獲獎情況。