第二百五十四章

　　跨校課題項目已經開題半個月。

　　這半個月時間，無論是羅宇所在課題小組，還是包梓所在的課題小組，均取得不錯的進展。

　　尤其是包梓這邊。

　　在關于變量為三元二次型的自守L-函數傅裡葉系數均值問題上取得了數項重大突破。

　　在包梓桌上有一本文件。

　　裡面詳細的記錄了包梓在研究自守L-函數傅裡葉系數均值問題的過程中，目前取得的一系列進展。

　　顧律簡單的掃了一眼，接着滿意的點點頭。

　　總的來說，包梓這邊的進度，是比顧律預想中的要快上一些的。

　　顧律本以為，半個月左右的時間，包梓這邊達成10%的進度就算不錯了。

　　但現在看來，這個估計還是有些保守了。

　　在針對課題中關于傅裡葉系數均值問題的研究，包梓這邊的進度差不多是15%。

　　按照這個效率繼續下去，不需要半年，大概隻需要四個月左右的時間，包梓這邊就能完工。

　　顧律還不清楚金陵大學羅宇那邊的研究進度，無法進行比較。

　　但包梓這邊的研究進度，絕對不能稱得上是慢。

　　顧律就這樣一邊翻着桌上的文件，一邊等着包梓回來。

　　十幾分鐘後。

　　“老師，我回來了！
”

　　人未到，聲先至。

　　聽到聲音後擡頭，顧律正好看到包梓蹦蹦跳跳的走進來，手裡拎着一個打包袋。

　　打包袋裝着幾個大包子，想必是包梓的早餐。

　　包梓揚了揚手中的打包袋，“老師，吃包子嗎？
牛肉餡的。
”

　　顧律笑着擺擺手，“不了，早飯我已經吃過了。
”

　　包梓拉過一把椅子坐在顧律旁邊，一個包子被啊嗚一口咬掉一小半，一邊吃着一邊含糊不清的開口，“老師，現在可以給我指導我遇到的那個難題了吧。
”

　　“你确定是現在嗎？
”顧律指了指包梓手中未吃完的大包子。

　　包梓點點頭，“這樣節省時間。
”

　　“那你說吧。
”

　　在顧律的授意下，包梓談起她在前幾天課題研究中遇到的一個難題。

　　包梓研究的是變量為三元二次型的自守L-函數傅裡葉系數均值問題。

　　按照課題框架中制定的研究計劃。

　　針對該問題，需要建立兩個變量為n的函數，分别來表示Maass尖形式和全純尖形式的傅裡葉系數。

　　接着，利用Dirichlet有理逼近定理和Chauchy不等式，得出T(-a;x)在主區間上的估計，以及S1(a，√2)在餘區間上的估計。

　　包梓就是卡在這一步上。

　　簡單來說，包梓沒有想通，如何利用Maass尖形式和全純尖形式的傅裡葉系數，精準的得出T(-a;x)在主區間上的估計，還有S1(a，√2)在餘區間上的估計。

　　“這樣啊……”

　　顧律摸着下巴，了解的點點頭。

　　包梓說的沒錯，這個地方，确實該課題的難點之一。

　　一旦處理不好，很容易前功盡棄。

　　不過，這對顧律來說，并不算什麼難題。

　　說完，包梓啊嗚一口咬了口包子，舒服的眯着眼，一副很滿足的樣子。

　　“唔，想了一晚上，一點頭緒都沒有，很難受。
”

　　包梓含含糊糊的說了一句，但臉上不見絲毫煩惱的樣子。

　　“老師，這個難題，難不倒你對不對？
”包梓眼睛亮晶晶的盯着顧律。

　　顧律點點頭。

　　包梓笑嘻嘻的開口，“那就麻煩老師解惑了。
”

　　顧律無奈一笑，從桌面上随便拿了一張空白的草稿紙。

　　從筆筒裡抽出一根粉絲的碳素筆，沉吟幾秒後，顧律在紙上寫下六個大字。

　　“球内整點問題？
”包梓輕咦一聲。

　　顧律淡淡一笑，開口說道，“沒錯，就是球内整點問題。
”

　　球内整點問題，其全稱是球内整點的素數分布問題。

　　這是解析數論領域較為知名的一個問題。

　　不過，該問題尚未内徹底解決。

　　但，球内整點問題雖未被徹底解決，但不妨礙數學家們使用其相關的知識解決其它數學問題。

　　就比如說，眼前這個問題。

　　目前包梓遇到的這個問題，利用球内整點問題進行求解并非是唯一的方案。

　　但比較過幾種方案後，顧律認為這是最簡單的方案。

　　而包梓這邊，經過顧律這麼一提醒，瞬間恍然大悟。

　　與球内整點問題相關的知識很多。

　　但和該課題研究内容相關聯的知識，就那麼一個。

　　那是在上個世紀九十年代，由兩位華國數學家使用三元二次型，在球内整點問題的基礎上提出的一個公式：

　　πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

　　當然，這個公式成立的先決條件，是A＞0。

　　公式并不複雜，但是球内整點問題的幾大研究成果之一。

　　因為其揭露了球内整點一部分素數分布問題。

　　雖然隐隐猜到了什麼，但包梓并非很确定，于是探尋的目光望向顧律。

　　顧律不再賣關子。

　　唰唰幾下在紙上寫下一行公式。

　　πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

　　這個公式，正是包梓猜想的那樣。

　　不過包梓沒有貿然開口，而是等着顧律的下文。

　　顧律将公式中‘C3’和‘I3’重重圈起來，開口解釋道，“這兩個符号，C3代表球内整點問題中的奇異級數，I3代表奇異積分，我們可以先這樣……”

　　“……在上述前提的基礎上，由公式πΛ(x)：=（省略）可以得到公式π3(x)=12C3I3∫t^0.5/logtdt+O(x^1.5log^(-A)x)。
”

　　顧律講述的速度很快，但旁邊的包梓卻很輕松的可以跟上顧律的速度，沒有絲毫壓力。

　　甚至，還可以抽空吃幾口包子。

　　顧律的思路包梓明白了大半。

　　簡單來說，就是利用三元二次型的球内整點問題公式，得出奇異級數以及奇異積分。

　　再在奇異級數和奇異積分的基礎上，得出了除數函數有關的均值問題公式。

　　果然，顧律講的最後一步，就是除數問題均值問題的推導。

　　“……最後，我們可以在前面這五個公式的基礎上，推導出一個與除數函數有關的均值問題公式，即……”

　　由于并沒有事先準備，這個公式，顧律是當場先算的。

　　腦子裡簡單過了一遍後，顧律便在紙上寫下最終這個公式。

　　S(x):=∑(1≤m1，m2，m3≤x)d(m1^2+m2^2+m3^2)=8ζ(3)/5ζ(4)x^3logx+O(x^3).

　　“嘶，這個公式……”

　　當該公式的全貌呈現在顧律面前時，似乎是想到了什麼，顧律的瞳孔猛地一縮。